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とつとつとしてろうとせず

ひまつぶしにどうぞ。

腑に落ちた

このサイトを読んでいてちょっと前から気になっていた問題がわかってすっきりした。それというのは、MathematicaWolfram|Alphaなどで次の2次元のラプラス方程式
\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0
\end{align}の一般解を求めさせると
\begin{align}
\phi(x,y) = C_1(y+ix)+C_2(y-ix)
\end{align}という答えが返ってくることである。確かに元の方程式を満たしていることは明らかなのだが、正直な話、何だか見た目にショボいではないか。やたらめったら複雑な関数が欲しいとまではいわないが、もう少し「らしい」答えがないものなのかと思っていたのである。
ところが今日、上述のサイトを見て先の解が立派な一般解(の例?)になっていることがわかって納得した。この解はどうやら演算子法で求められるようなのだ。
微分演算子
\begin{align}
\frac{\partial^2 }{\partial x^2} = D_x^2 \ ,\ \frac{\partial^2 }{\partial y^2} = D_y^2
\end{align}
のようにおき、ラプラス方程式演算子因数分解すると、
\begin{align}
D_x^2 \phi + D_y^2 \phi &= 0 \\
(D_x^2+D_y^2)\phi &= 0 \\
(D_x+iD_y)(D_x-iD_y)\phi &= 0
\end{align}ところで、
\begin{align}
(aD_x+bD_y+c)u = 0
\end{align}の一般解は次式のように表される、らしい。
\begin{align}
u(x,y) = f(bx-ay) \exp \left( -\frac{ax+by}{a^2+b^2}c \right)
\end{align}ここで、\(f(x,y)\)は2回微分可能な任意の関数である。これを用いると、\(a=1 , b=\pm i, c=0\)より、
\begin{align}
\phi(x,y) = f(ix-y)\ ,\ f(-ix-y)
\end{align}ラプラス方程式は線形方程式なので、これらの解の線形結合が一般解となり、
\begin{align}
\phi(x,y) = C_1 f(y+ix) + C_2f(y-ix)
\end{align}が得られる(負符号は任意係数に吸収させたのだと思う)。Mathematicaは任意関数の内最も単純な多項式を答えとして表示していたのだ(\( f(x) = x \)としている)。
個人的な事情としてはラプラス方程式ではなく、右辺が定数のポアソン方程式
\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = c
\end{align}の簡単な答えが知りたいのだが……これは演算子法じゃ無理っぽい(右辺に因数分解したDの項を移行しても、常微分じゃないから1/Dの公式使えないよね?)。ネットに落ちてる偏微分方程式の解法の例ってよくてラプラス方程式までしかないんだよなぁ。線形なんだからラプラス方程式の基本解にポアソン方程式の特殊解を足せばいいんだろうけど、そういう手続きを具体的にどうやるかを例示してくれるサイトとかあるといいのにね。それともあれかい、この手の問題はグリーン関数とかフーリエ変換しなきゃどうにも求まらないのかね。勉強するのにやぶさかでないけども、それが実際に「使える」答えじゃないんなら、あんまりやる気もわかないんだよな。