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とつとつとしてろうとせず

ひまつぶしにどうぞ。

次元がちょっとずつ増える

2次元のポアソン方程式
\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = c
\end{align}において、左辺第二項に微小な係数がかかっているときを考える。
\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \varepsilon \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = c
\end{align}\( \varepsilon \rightarrow 0 \)の極限では上式は常微分方程式になるので、そのときの解を\( \phi_0 \)とおくと、
\begin{align}
\phi_0(x) = \frac{c}{2}x^2+C_1 x+C_2
\end{align}となる。この解を使って\( \varepsilon \ll 1 \)のときの近似解を
\begin{align}
\phi(x,y) = \phi_0(x) + \varepsilon \phi^*(x,y) +\mathcal{O}(\varepsilon^2)
\end{align}のように構成できちゃったりする方法論とかないのかな? 基礎式よりもむしろ境界条件を満たしてくれる近似解の方がありがたいのだけど(境界近傍でよく近似できればいいはずなので)。摂動法を調べても常微分方程式の話しかなくて困る。偏微分方程式の場合でも基本解に微小な摂動解を足して求めるというやり方しか書いてなくて、それは次元の大きさが変わっているわけではない。「そんなことは数学的に不可能だ!」と誰か教えてくれればすっぱり諦めもつくというものなんだが(ウソ、少しは未練が残る)。